关于矩阵的秩的重要结论 |
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今天要讲的是关于矩阵秩的重要结论。关于矩阵的秩,讲三点,前两点是比较重要的,专门提出来强调一下,第三点是书上没有的一个重要的结论: 1、 2、矩阵左乘列满秩矩阵后新矩阵的秩与原矩阵的秩一样,此结论希望引起大家重视,此结论就是同济大学第五版70页的例9,大家可以参照此过程。 3、给出一个关于矩阵的秩的一般性的结论, 大家记住了的话对做题有很大的帮助,证明过程复杂,不要求掌握。 今天看一道考研的选择题: 上述是脱离了方程组单独讲的矩阵的秩的结论,而当秩与方程组结合时也有重要结论,对于方程组Ax=b 1、如果A是行满秩的矩阵,那么方程组要么有唯一解,要么有无穷多解。 如果A是行满秩的矩阵,因为矩阵的列秩等于矩阵的行秩,所以矩阵的列秩等于矩阵的行数,所以矩阵的列向量的线性组合一定能得到所有该维数的列向量。怎么理解呢?比如A是2x4的矩阵,A的秩为2,那么组成A的四个列向量的秩为2,这四个列向量都是2维的,那这四个列向量是不是能线性组合成任意的二维列向量,所以一定有解。 A的形式要么是矮且胖要么是方阵(矩阵的列不可能小于矩阵的行数),如果矩阵A矮且胖的话,那么对线性方程组的约束的个数(矩阵的行数)小于未知数的个数,那就是无穷多解。矩阵A是方阵,根据克拉默法则我们也能得出是唯一解。 上面是我们根据我们对线性代数的直观理解做出的推导,那么这个结论怎么证明呢? 2、如果A是列满秩的话,那么方程组要么有唯一解,要么无解。 两个结论看起来类似,但直观理解的角度不太一样。A要么是方阵,要么是瘦高型,A是方阵时根据克拉默法则也可知有唯一解,A是瘦高型的话,A的线性组合如果能构成b就是唯一解,不能构成b就无解了。(因为A中各列线性无关,最后x不可能有无穷多解) 还有一个角度,b是A中各列线性组合,b的这一列加到A后如果矩阵的秩加了1,说明无解,如果矩阵的秩不变,说明有唯一解。 |
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